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2016年第九届“认证杯”数学建模网络挑战赛第一阶段D题一等奖优秀论文(二)

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 发布时间: 2016-07-07 12:42:26  点击:197次

  2016年第九届认证杯 数学建模网络挑战赛第一阶段D优秀论文

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                                一、问题重述

1.1 背景资料

79-80 赛季,NBA 开始实验性的引入三分球制,当时的原则是“仅限于 常规赛使用”。而在 80-81 赛季,NBA 正式全面引入三分线。目前,NBA 三 分线 的最远处距离篮筐是 7.25 米。值得注意的是 NBA 曾在 94-95 赛季 将三分线 距离缩短为 6.70 米,距离变短后人人都能投三分,很难反映出 球员的远投能力,所以 97-98 赛季,NBA 又将三分线距离改回原来的 7.25 米。 四分线的推出能更全面反映出 1 名射手的远投能力。NBA 一旦引入四 分球制度,投手的春天将就此到来。那些震撼联盟的神射手们又多了一项 致命的武器。此外,四分球拉开空间之后,会让内线球员的防守压力变得 更小,篮下的冲撞变得更少,有利于避免球员之间的身体碰撞,保护球员 的身体健康

1.2 问题提出

1.建立合理的数学模型,评估 NBA 是否应该引入四分线。

2.设计四分线的位置,提出一个合理的方案。

                            二、模型假设与符号说明

2.1 模型假设

1.假设球场上的所有线都没有宽度。

2.2 假设说明

针对假设一,所有线都只是一维的线,不存在宽度。

2.3 符号说明

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 其中图片1.png均为1至5的整数,图片2.png均为小于1的正数,且图片3.png

                       三、问题分析与模型求解

3.1 针对问题一

我们通过分析设立四分线的利弊,并参考 NBA 添加三分线时造成的影响, 将添加四分线与不添加四分线进行对比,从多个方面考虑是否应该添加四分线。                    

3.2 模型一

3.2.1 三分球的发展

三分球自从 1979-1980 赛季引入 NBA 开始,并不受到各界人士的关注, 很多 NBA 球员对三分球十分反感,但随着时间的增长,三分球逐渐被人们 重视,在 1994-1995 赛季,NBA 联盟将三分线从原来的 7.25 米缩减至 6.70 米,于是众球员蜂拥而上,都想在三分线上牛刀小试,这种人人都能投三 分的局面很难反映出一个球员的远投能力,于是 NBA 联盟在 1997-1998 赛 季将三分线的位置又挪回了最初的 7.25 米,但这并没有浇灭球员们投三分 球的热情,球员们投三分球的命中率和三分球占总投篮数的百分比仍在不断增加。

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3.2.2 三分线与四分线的联系

在 NBA 刚刚引入三分线时,人们很难接受这一规则,后来,随着时 间的推移,人们才慢慢接受了这一规则。

四分球引入前期,情况也会像三分球引入时那样,并不受人们欢迎,球员们也很少会进行四分远投,但经过一段时间的熟悉,一定会有很多 #4517 5 球员练习四分远投,并利用其快速得分,而且在比赛后期,可以通过四 分球快速追平比分,或拉开比分差距。

3.2.3 四分线的利弊

增加四分线可以让会远投球的队员可以在更远处得到更多的分数, 这样可以让比赛有更大的悬念,还有在这样的情况下,只要投进一个四 分球,就相当于投进了两个两分球,如果有了远投球的话,就可以避免 在近处投球的冲撞,这样就可以减少投球时身体的冲突,可以让篮球队 员的身体更健康。还可以增加比赛的乐趣。而且这样做还能增加观看比 赛的观众,进而增加 NBA 的门票收入,这对整个 NBA 联盟都是有好处的。 但是有利必有弊,四分意味着投篮距离更远难度更大,扩大防守的范围, 显然现在的战术就失效了,只能重新设计战术,这样会耗费大量的时间, 而且即使有四分线要想命中也是难度极高概率极低。

3.2.4 设定指标

由于 NBA 是一个以盈利为目的的商业联赛,所以衡量四分线规则是 否合理时应最先考虑 NBA 是否能因此盈利,而盈利的唯一途径就是提高 收视率,所以比赛的观赏性应为较重要的指标,我们将其定为 X1;其次, 该规则必须得到球员的支持,如果规则是针对某些球员设计的就会导致 规则对不同的球队不公平,所以该规则对球员们的公平性应作为一项重 要指标,我们将其定为 X2 ;还有,比赛的双方如果差距太大,则无法激 起观众的兴趣,观看的观众就会大大减少,因此,比赛的悬念这项指标 也很重要,我们将其定为 X3 ;而且,比赛中应尽量减少球员在冲撞时受 伤,球员受伤的概率也是一项重要的指标,我们将其规定为 X4 ;如果规 则推出后,很少被球员使用,那这个规则也就没有意义,所以球员对这 个规则是否认可也可作为一项指标,我们将其定为 X5 。我们把每项指标 分为五个等级:5.好;4.较好;3.中等;2.较差;1.差。

 3.2.5 指标评定规则

     在这五个指标中,最重要的是比赛的观赏性,因为这直接影响了 NBA 联盟的收入,所以我们将它的系数 P1定为 0.3,其次,规则对球员的公 平性和比赛的悬念也很重要,因为这会影响观众的情绪,也会间接的影 响到 NBA 的收入,因此我们将它们的系数 P2 和 P3 定为 0.2,而剩下的球 员受伤情况和球员对规则的认可程度不太重要,我们将它们的系数 P4

 P5设定为 0.15。最终评定一项规则的公式为X1×P2+X2×P2+X3×P3+X4×P4+X5×P5

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 3.2.6 指标评定 

     在加入四分线规则之前,比赛观赏性较强,我们定 X1 = 4,同时比赛 也非常公平,所以我们定 X2= 5,而比赛的悬念并不是很大,所以我们定 X3 =3 ,而且比赛有很多篮下冲撞的情况,很容易导致球员受伤,所以我 们定 X4 =3 ,比赛的规则已经使用很长时间了,球员们都很认同这些规则, 所以我们定 X5 = 5。所以,图片4.png

     在加入四分线规则之后,有了更多的远距离投篮,比赛的观赏性会 变得更强,所以我们定 X1= 5,而四分线距离篮筐很远,对某些不会远投 的球员不太公平,所以我们定 X2 =4 ,而加入四分球后可以在很短的时间 内得到高分,随时可能出现反超的情况,具有更大的悬念,所以我们定 X3=4 ,四分球加入后,会减少球员在篮下的冲撞,可以减少球员受伤的 次数,增加安全系数,所以我们定 X4 =5 ,新制定的规则很难被球员接受, 很多球员都会抵制新规则,所以我们定 X5=2。所以,QQ图片20160707154624.png

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3.3 针对问题二 

      我们通过三分与四分分值的比联系到三分球和四分球的难度的比, 然后借助 NBA 球员远投的命中率计算出四分线的大概位置,并根据三分 线距篮筐的最远和最近距离比计算出四分线不同位置距篮筐的距离,然 后再根据 NBA 添加三分线时规则的改变,为四分线的推出制定新的规则。

3.4 模型二 

3.4.1 三分线与四分线的关系 

     四分球的分值要高于三分球,所以四分球的难度也应大于三分球。 如果四分线距离三分线太近,就会导致大量球员都去投四分球,则三分 线就会失去作用,这样对于不能远投的球员很不公平;而如果四分线距 离三分线过远,这就会导致投进四分球难度过大,从而导致没有人去投 四分球,则设计四分线就失去了意义。因此,四分线距离三分线的长度 必须设计得合理。四分球与三分球所占分值的比为 4:3,所以,四分球 与三分球难度的比也应为 4:3,也就是说,四分球与三分球命中率的比 应为 3:4。

3.4.2 四分线距篮筐的最远距离与三分线距篮筐的距离 

     在 2013-2014 赛季,NBA 所有球员三分球平均命中率为 35.8%,而四 分球的命中率应为35.8% ¸ 4´3 = 26.85% ,而 NBA 联盟中所有球员攻击时间 在 1 秒以上,在距篮筐 28 英尺(8.7355 米)外的投篮命中率约为 25%, 很接近计划四分球命中率的 26.85%,而且我们考虑到四分球可以在防守 队员很多时投出,这是三分球和二分球做不到的,还有,四分球被盖帽 的可能性也远远低于二分球和三分球,因此,四分线距篮筐的距离应稍 远于 28 英尺(8.7355 米),我们将四分线最远处距篮筐的距离定为 9 米。

3.4.3 四分线距篮筐的最近距离 

     三分线的形状由一个圆弧和两条平行于边线的直线组成,距篮筐最 远的距离是 7.25 米,距篮筐最近的距离是 6.7 米,两侧的直线的长度 是 5.8 米,圆弧的半径为 7.25 米。我们设计的四分线的形状和三分线 一样,也由一个圆弧和两条直线组成,三分线距篮筐的最远距离与四分 线距篮筐的最远距离的比,三分线的直线长度与四分线的直线长度的比, 三分线距篮筐的最近距离与四分线距篮筐的最近距离的比以及三分线 圆弧的半径与四分线圆弧的半径相等,用公式表示就是

                 QQ图片20160707154833.png

 四分线距篮筐的最远距离是 9 米,三分线距篮筐的最远距离是 7.25 米,所以 111.png

     四分线距篮筐的最远距离 三分线距篮筐的最远距离 。三分线上的直线的长度已 知是 5.8 米,所以四分线上直线的长度= 5.8 ÷ 0.805 ≈ 7.205米;而三分线距 篮筐的最近距离已知是 6.7 米,以此可以求出四分线距篮筐的最近距离, 四分线距篮筐的最近距离= 6.7/0.805 ≈ 8.323米;三分线上圆弧的半径是 7.25 米,由此可求出四分线上圆弧的半径= 7.25 ÷ 0.805 ≈9米。 

QQ图片20160707140840.png

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3.4.4 绘制四分线的图案 

     四分线的最后图案由两条直线和一个圆弧组成,位于三分线外,最 远处距离篮筐 9 米,最近处距篮筐 8.323 米,侧面两条平行于边线的线 长 7.205 米,圆弧的半径是 9 米。但由于底线的总长度只有 15.24 米, 而圆弧直径却达到了9×2 =18米,所以四分线的实际图案只是以篮筐中心 为中心,半径为 9 米的一个圆弧(详见图 8)。图中表示线段即为四分线。

3.4.5 规则改动 

     四分线推出后,必须有一系列规则来适应这个改动。首先,与四分 投篮无关的规则无需改动,而四分线推出后,三分投篮的区域也就随之 减小,规则需要进行如下改动: 

     1.在三分线以外四分线以内的区域投篮命中得 3 分,在四分线以外 的区域投篮命中得四分,如果球员在投掷四分球时对方犯规,且投篮没 中,则该球员获得四次罚球机会,若投篮命中,则该四分球有效,且该 球员获得一次罚球机会。 

     2.投掷四分球时,脚必须站在四分线外,且在球触碰到篮筐前,球 员身体的任何部位不得触碰到四分线。若在球触碰到篮筐前,球员的身 体部位触碰到了四分线,则此次投篮视为三分球投篮。 

     3.每名球员每场比赛只能出手 10 个四分球,超出 10 个后的四分球 视为三分球。

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                                  四、模型的推广 

4.1 模型的推广 

     本模型是通过研究四分线的好处与坏处并设立指标进行评定,然后 通过计算求出四分线的位置,并推出一系列适用于四分线的规则。本模 四分线 四分线 r=9m #4517 11 型可以应用在 NBA 联赛中,也可以将此规则引入其他篮球比赛,使比赛 更加激烈有趣,同时提高观众的热情和主办方的收入。

4.2 模型的优点 

     本模型通过对四分线位置的研究,经过多方面考虑,设计出了四分 线的最佳位置,可以使远投能力强的球员们更好地发挥他们的能力。如 果 NBA 联盟使用我们设计的四分球,则他们可以在很短的时间内吸收大 量的观众,从而提高他们的收入。

4.3 模型的缺点 

     本模型虽然可以帮助 NBA 联盟提高收入,但我们在某些方面考虑得 并不全面,而且数据也不太精确,很多数值都是计算的近似值,虽然本 模型有这些缺点,但对最终的结果并没有太大的影响。

附录: 

参考文献 

[1]三分线的前世今生——从人人厌恶到人人都爱

 http://sports.qq.com/a/20150604/049343.htm 

[2]NBA 新增四分线?三分线已经不能满足投手们了 http://sports.sohu.com/20140303/n395873235.shtml?qq-pf-to=pcq q.group 

[3]数据控:三分线改变 NBA 四分线弊端多恐致流产

 http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5ODMxNDAzMQ==&mid=20005076 8&idx=1&sn=74bce0545fe8b2f41806551198b6d6bd&3rd=MzA3MDU4NTYzMw== &scene=6#rd

 [4]三井兽 不可思议 NBA 出现四分球的可行性



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